Đáp án: d⁢(A;(S⁢B⁢C))=a⁢66

Phương pháp giải: - Đổi \(d(A;(SBC))\)sang \(d(O;(SBC))\)với \(O = AC \cap BD\)

- Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\),trong \((SOM)\)kẻ \(OH \bot SM\)chứng minh \(OH \bot (SBC)\)

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách

Giải chi tiết:

Ta có: \(AO \cap (SBC) = C \Rightarrow \frac{{d(A;(SBC))}}{{d(O;(SBC))}} = \frac = 2\)

\( \Rightarrow d(A;(SBC)) = 2d(O;(SBC))\)

Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\),trong \((SOM)\)kẻ \(OH \bot SM\)ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot OM}\\{BC \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SOM) \Rightarrow BC \bot OH\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot BC}\\{OH \bot SM}\end{array}} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC) \Rightarrow d(O;(SBC)) = OH\)

Vì \({S_{ABCD}} = {a^2} \Rightarrow BC = a,OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

Ta có: S⁢M=S⁢B2-B⁢M2 =a2-a24 =a⁢32

S⁢O=S⁢M2-O⁢M2 =3⁢a24-a24=a⁢22

Xét tam giác vuông \(SOM\): \(OH = \frac{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy d⁢(A;(S⁢B⁢C))=a⁢66