Giả sử ∆ABC có 2 đường trung tuyến BE và CF vuông góc với nhau, AD là đường trung tuyến thứ 3. Ta cần chứng minh: \(A{D^2} = B{E^2} + C{F^2}\).

Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho EF = FK

Tứ giác AKCF có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AKCF là hình bình hành ⇒ AK // FC. Mà FC ⊥ BE nên BE ⊥ AK (*)

Ta có: F là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên EF là đường trung bình của ∆ABC ⇒ EF = \(\frac{1}{2}BC\) và EF // BC hay EK // BD (1)

Mà BD = \(\frac{1}{2}BC\) (gt) nên EF = BD ⇒ EK = BD (do EF = EK theo cách chọn điểm phụ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra EKDB là hình bình hành ⇒ EB // DK (**)

Từ (*) và (**) suy ra DK ⊥ AK ⇒ ∆AKD vuông tại K \( \Rightarrow A{K^2} + K{D^2} = A{D^2}\) (theo định lí Py-ta-go)

Mà AK = FC (do AKCF là hình bình hành) và KD = BE (do EKDB là hình bình hành) nên \(A{D^2} = B{E^2} + C{F^2}\)(đpcm)