Giả sử w = a + bi. Ta có

w = (3 + 4i)z + i

Û a + bi = (3 + 4i)z + i

Û a + (b − 1)i = (3 + 4i)z

⇔z=a+b−1i3+4i

⇔z=a+b−1i3−4i3+4i3−4i=a+b−1i3−4i25

⇔z=1253a+4b−4+−4a+3b−3i

 Theo giả thiết cho |z| = 4 nên ta có:

12523a+4b−42+−4a+3b−32=42

Û (3a + 4b − 4)² + (−4a + 3b − 3)² = 100²

Û 25a² + 25b² + 25 − 50b = 100²

Û a² + b² − 2b + 1 = 20²

Û a² + (b − 1)² = 20²

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 20.