Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là: 

ax3+bx2+cx−12=dx2+ex+1

⇔ax3+b−dx2+c−ex−32=0   *

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được ax+3x+1x−1=ax3+b−dx2+c−ex−32

⇔ax+3x2−1=ax3+b−dx2+c−ex−32

⇔ax3+3ax2−ax−3a=ax3+b−dx2+c−ex−32

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

3a=b−d−a=c−e−3a=−32⇔a=12b−d=32c−e=−12

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

S=∫−3−112x3+32x2−12x−32dx+∫−11−12x3−32x2+12x+32dx

=x48+x32−x24−3x2−3−1+−x48−x32+x24+3x2−11

=−148+−132−−124−3 . −12−−348−−332+−324+3 . −32

−148−132+124+3 . 12+−148+−132−−124−3 . −12

=18−12−14+32−818+272+94−92−18−12+14+32+18−12−14+32= 4.