Để giải bài toán này, ta tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng \( OH < OK \).

1. **Đặc điểm hình học**:
- Điểm \( O \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( DBC \).
- Do điểm \( O \) là tâm đường tròn, nên đoạn \( OD \) là bán kính và vuông góc với tiếp tuyến tại \( D \).
- Xét tam giác \( OHD \) và tam giác \( OKD \).

2. **Sử dụng định lý về bán kính**:
- Bán kính \( OD \) là bằng nhau với bán kính \( OK \) do cả hai cùng là bán kính của một đường tròn.
- Vì \( H \) nằm trên \( BC \) và \( K \) nằm trên \( BD \), nên góc \( OHD \) là một góc vuông và góc \( OKD \) cũng là góc vuông.

3. **So sánh khoảng cách**:
- Tam giác \( OHD \) vuông tại \( H \) giới hạn khoảng cách từ \( O \) đến \( H \).
- Tương tự, tam giác \( OKD \) vuông tại \( K \) giới hạn khoảng cách từ \( O \) đến \( K \).
- Do \( AD = AC \) và \( D \) nằm trên cạnh \( AB \), nên khoảng cách \( OH \) sẽ nhỏ hơn tổng của các khoảng cách tính từ \( O \) tới các cạnh.

Kết luận: \( OH < OK \) do tính chất của tam giác và vị trí của các điểm.

### b) So sánh hai hình tứ giác \( BD \) và \( BC \).

1. **Đường cong và kích thước**:
- Nhìn chung, \( BD \) và \( BC \) là hai đoạn thẳng trong cùng một hình học mà \( D \) nằm giữa \( A \) và \( B \).
- Cạnh \( AB \) sẽ dài hơn khi \( D \) gần điểm \( A \) hơn, tức là \( BD < BC \).

2. **Kết luận**:
- Ta có thể thấy rằng \( \triangle BDC \) lớn hơn \( \triangle BDA \) trong khung hình này, do đó ta có thể khẳng định rằng \( BD < BC \).

Bằng cách chứng minh các khía cạnh hình học và sử dụng tính chất của các tam giác trong không gian, ta đã hoàn thành bài toán yêu cầu.