Gọi x là độ dài cạnh đáy của chóp đều S.ABCD.

Gọi O = AC Ç BD Þ SO ^ (ABCD)

Ta có:  BD⊥AC gtBD⊥SO  do SO⊥ABCD

⇒BD⊥SAC⇒BD⊥SC

Trong (SBC) kẻ BH ^ SC (H Î SC) có:

•  BH⊥SCBD⊥SC cmt⇒SC⊥BDH⇒SC⊥DH

•  SBC∩SCD=SCSBC⊃BH⊥SCSBC⊃DH⊥SC⇒SBC; SCD^=BH; DH^

⇒cosBHD^=110cosBHD^=−110

Ta dễ dàng chứng minh được: ∆BHC = ∆DHC

Þ HB = HD Þ ∆HBD cân tại H

Xét tam giác SBC ta có: 

cosC^=BC2+SC2−SB22 . BC . SC=x22x . 11a=x1122a

⇒HC=BC . cosC^=x21122a

⇒HB=BC2−HC2=x2−x444a2=xa2−x22a11=HD

Xét tam giác BDH có: 

cosBHD^=HB2+HD2−BD22HB . HD=2x2−x422a2−2x22x2−x444a2

=2x2−x422a2−2x22x2−x422a2=1−44x2a244x2a2−x4

+) TH1:  cosBHD^=110 

⇔1−44x2a244x2a2−x4=110

⇔44x2a244x2a2−x4=910

Û 440x²a² = 396x²a² − 9x⁴

Û 9x⁴ = −44x²a² (vô nghiệm)

+) TH2:  cosBHD^=−110 

⇔1−44x2a244x2a2−x4=−110

⇔44x2a244x2a2−x4=1110

Û 440x²a² = 484x²a² − 11x⁴

Û 11x⁴ = 44x²a²

Û x² = 4a²

Û x = 2a 

⇒OA=12AC=12 . 2a2=a2

Xét tam giác vuông SOA có:

 SO=SA2−OA2=11a2−2a2=3a.

Vậy  VS.ABCD=13SO . SABCD=13 . 3a . 2a2=4a3.