a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và

\(\widehat {ABC} = \widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}A} = \widehat {DAB} = 90^\circ \)

Xét △DEC và △BFC có

EC = FC (giả thiết)

\(\widehat {DCE} = \widehat {BCF} = 90^\circ \)

DC = BC (chứng minh trên)

Do đó △DEC = △BFC (c.g.c)

Suy ra DE = BF (2 cạnh tương ứng), \(\widehat {E{\rm{D}}C} = \widehat {FBC}\)

b) Xét △BEH và △DEC có

\(\widehat {BEH} = \widehat {DEC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {E{\rm{D}}C} = \widehat {FBC}\) (chứng minh câu a)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\widehat {BHE} = \overrightarrow {DCE} \)

Mà \(\overrightarrow {DCE} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BHE} = 90^\circ \)

Hay DE ⊥ BF

Suy ra \(\widehat {DHF} = 90^\circ \)

c) Xét tam giác BDF có

DE ⊥ BF

BC ⊥ DF

DE cắt BC tại E

Suy ra E là trực tâm tam giác BDF

Do đó FK ⊥ BD

Mà AO ⊥ BD

Suy ra AO // IK

Vì CE = CF nên tam giác CEF cân tại C

Mà CI là trung tuyến

Suy ra CI là đường cao

Hay CI ⊥ EF

Xét tứ giác OKIC có

\(\widehat {OKI} = \widehat {K{\rm{O}}C} = \widehat {CIK} = 90^\circ \)

Suy ra OKIC là hình chữ nhật

Do đó OC = KI

Mà OC = AO

Suy ra AO = KI

Xét tứ giác AOIK có AO // KI , AO = KI (chứng minh trên)

Suy ra AOIK là hình bình hành

d) Xét tứ giác ABHD có \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {BHD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác ABHD nội tiếp

Do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {A{\rm{D}}B} = 45^\circ \)

Xét tứ giác DKHF có \(\widehat {{\rm{DKF}}} = \widehat {DHF} = 90^\circ \)

Suy ra tứ giác DKHF nội tiếp

Do đó \(\widehat {KHB} = \widehat {{\rm{FD}}B} = 45^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AHB} = \overrightarrow {KHB} \)

Suy ra AH ≡ KH

Do đó A, H, K thẳng hàng

Vậy A, H, K thẳng hàng.