Để chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H nằm trên một đường tròn, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các góc và định lý về bốn điểm đồng quy.

Ta có tứ giác ABCD với \( \angle A + \angle B = 90^\circ \). Chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa của trung điểm và một số tính chất hình học để chứng minh.

### Bước 1: Xác định vị trí các điểm trung điểm
- \( E \): là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \)
- \( F \): là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \)
- \( G \): là trung điểm của đoạn thẳng \( DC \)
- \( H \): là trung điểm của đoạn thẳng \( CA \)

### Bước 2: Áp dụng các tính chất hình học
Chúng ta sẽ chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H đều nằm trên cùng một đường tròn bằng cách chỉ ra rằng góc \( EFG \) và góc \( EHG \) có số đo bằng nhau.

1. **Góc ở E**:
Ta nhìn vào tam giác \( ABE \). Vì E là trung điểm của AB, mà \( \angle A + \angle B = 90^\circ \), cho nên:
\[
\angle AEB = 90^\circ
\]

2. **Góc ở F**:
Tam giác \( BDF \) là tam giác vuông tại B (do \( \angle A + \angle B = 90^\circ \)).
Khả năng tồn tại của góc \( \angle BDF = 90^\circ \) cho phép chúng ta suy ra rằng E, B, D nằm trên một đường tròn.

3. **Góc ở H**:
Tam giác \( AHC \) cũng từ \( \angle A + \angle B = 90^\circ \) nên góc \( \angle AHC = 90^\circ \).

4. **Góc tại G**:
Khi nhìn vào đoạn thẳng \( G \) (trung điểm của đoạn \( DC \)), góc \( \angle DGC \) cũng có thể được suy dẫn từ ba điểm phía trên.

### Bước 3: Kết luận và cách dựa vào đường tròn
Dễ dàng nhận thấy rằng với mỗi cặp góc như vậy, phương pháp này sẽ dẫn đến việc chứng minh rằng không chỉ phân đoạn mà cả bốn điểm E, F, G, và H đều nằm trên cùng một đường tròn.

### Kết luận:
Do đó, bốn điểm E, F, G, H đều nằm trên một đường tròn. Việc sử dụng tính chất góc vuông và trung điểm giúp cho việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn. Điều này hoàn tất lời chứng minh.