Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức P

Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức \( P = x^3(1-x)^2 \) và \( Q = x(1-x^2) \) trong khoảng \( 0 < x < 1 \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của mỗi biểu thức và tìm các điểm cực trị.

### 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x^3(1-x)^2 \)

Trước hết, tính đạo hàm của \( P \):

\[
P = x^3(1-x)^2
\]

Áp dụng quy tắc sản phẩm và quy tắc chuỗi, ta có:

\[
P' = (x^3)'(1-x)^2 + x^3((1-x)^2)'
\]

Tính từng phần:

\[
(x^3)' = 3x^2
\]
\[
((1-x)^2)' = 2(1-x)(-1) = -2(1-x)
\]

Thay thế vào công thức đạo hàm:

\[
P' = 3x^2(1-x)^2 - 2x^3(1-x)
\]

Đưa về cùng mẫu số:

\[
P' = x^2(1-x) \left( 3(1-x) - 2x \right)
\]

Giải phương trình \( P' = 0 \):

1. \( x^2(1-x) = 0 \) ⇒ \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \) (không thuộc khoảng \( 0 < x < 1 \))
2. \( 3(1-x) - 2x = 0 \) ⇒ \( 3 - 3x - 2x = 0 \) ⇒ \( 3 = 5x \) ⇒ \( x = \frac{3}{5} \)

Bây giờ, tính giá trị của \( P \) tại điểm cực trị và các rìa (mặc dù \( x = 0 \) và \( x = 1 \) không nằm trong khoảng):

\[
P\left(\frac{3}{5}\right) = \left(\frac{3}{5}\right)^3\left(1-\frac{3}{5}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{27}{125} \cdot \frac{4}{25} = \frac{108}{3125}
\]

### 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q = x(1-x^2) \)

Tính đạo hàm của \( Q \):

\[
Q = x(1-x^2)
\]

Áp dụng quy tắc sản phẩm:

\[
Q' = (x)'(1-x^2) + x((1-x^2)')
\]

Tính từng phần:

\[
(x)' = 1
\]
\[
((1-x^2)') = -2x
\]

Thay thế vào công thức đạo hàm:

\[
Q' = 1(1-x^2) - 2x^2 = 1 - 3x^2
\]

Giải phương trình \( Q' = 0 \):

\[
1 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Tính giá trị của \( Q \) tại điểm cực trị:

\[
Q\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3\sqrt{3}}
\]

### Kết luận

Giá trị lớn nhất của các biểu thức là:

- Với \( P \), giá trị lớn nhất là \( \frac{108}{3125} \) tại \( x = \frac{3}{5} \).
- Với \( Q \), giá trị lớn nhất là \( \frac{2}{3\sqrt{3}} \) tại \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \).