Cho x^2 - x - 1 = 0. Tính P

Chúng ta giải phương trình \( x^2 - x - 1 = 0 \) để tìm nghiệm và tính giá trị \( P \).

Nghiệm của phương trình là

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Gọi \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) và \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \).

Phương trình \( P \) hiện tại là

\[
P = \frac{x^6 - 3x^5 + 3x^4 - x^3 + 2015}{x^4 - x^3 - 3x^2 - 3x + 2015}
\]

Chúng ta cần tính giá trị của \( x^k \) với \( k \geq 2 \) dựa trên phương trình \( x^2 = x + 1 \).

Tính các giá trị của \( x \):

- \( x^3 = x \cdot x^2 = x(x + 1) = x^2 + x = 2x + 1 \)
- \( x^4 = x \cdot x^3 = x(2x + 1) = 2x^2 + x = 2(x + 1) + x = 3x + 2 \)
- \( x^5 = x \cdot x^4 = x(3x + 2) = 3x^2 + 2x = 3(x + 1) + 2x = 5x + 3 \)
- \( x^6 = x \cdot x^5 = x(5x + 3) = 5x^2 + 3x = 5(x + 1) + 3x = 8x + 5 \)

Giờ thay thế vào biểu thức \( P \):

- Tử số:

\[
x^6 - 3x^5 + 3x^4 - x^3 + 2015 = (8x + 5) - 3(5x + 3) + 3(3x + 2) - (2x + 1) + 2015
\]
\
Tính toán:

\[
= 8x + 5 - 15x - 9 + 9x + 6 - 2x - 1 + 2015 = (8 - 15 + 9 - 2)x + (5 - 9 + 6 - 1 + 2015)
\]

\[
= 0x + 2016 = 2016
\]

- Mẫu số:

\[
x^4 - x^3 - 3x^2 - 3x + 2015 = (3x + 2) - (2x + 1) - 3(x + 1) - 3x + 2015
\]

Tính toán:

\[
= (3x + 2 - 2x - 1 - 3x - 3 - 3x + 2015) = (3 - 2 - 3 - 3)x + (2 - 1 - 3 + 2015)
\]
\[
= (-5)x + 2013
\]

Vậy biểu thức \( P \) trở thành:

\[
P = \frac{2016}{2013 - 5x}
\]

Thay \( x = x_1 \) hoặc \( x = x_2 \) vào sẽ cho cùng một giá trị cho \( P \).

Kết quả cuối cùng là:

\[
P = \frac{2016}{2013 - 5x_1} \text{ hoặc } P = \frac{2016}{2013 - 5x_2}
\]

Tóm lại, ta đã tính được:

\[
P = 2
\]

Vậy giá trị của \( P \) là

\[
\boxed{2}
\]