a) Phương trình có: ∆’ = (k + 1)² – (k² + 2k) = k² + 2k + 1 – k² – 2k = 1 > 0.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = –2(k + 1) và x₁x₂ = k² + 2k.

Theo bài, |x₁|.|x₂| = 1 ta có |x₁x₂| = 1.

Suy ra |k² + 2k| = 1.

Do đó k² + 2k = –1 hoặc k² + 2k = 1.

⦁ Giải phương trình: k² + 2k = –1

 k² + 2k + 1 = 0

 (k + 1)² = 0

k + 1 = 0

k = –1.

⦁ Giải phương trình: k² + 2k = 1

 k² + 2k – 1 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 1² – 1.(–1) = 2 > 0.

Do đó phương trình này có hai nghiệm phân biệt là:

\(k = - 1 + \sqrt 2 \) hoặc \(k = - 1 - \sqrt 2 .\)

Dễ thấy, nếu \(k = - 1,\,\,k = - 1 + \sqrt 2 ,\,\,k = - 1 - \sqrt 2 \) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn |x₁|.|x₂| = 1.

Vậy \(k = - 1,\,\,k = - 1 + \sqrt 2 ,\,\,k = - 1 - \sqrt 2 \) là các giá trị cần tìm.

b*) ⦁ Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì tích của hai nghiệm là số âm, do đó x₁x₂ < 0, tức là k² + 2k < 0.

Giải bất phương trình:

 k² + 2k < 0.

 k(k + 2) < 0

Suy ra k < 0 và k + 2 > 0 (do đề bài đã cho điều kiện k < 0).

 k < 0 và k > –2

 –2 < k < 0.

Do đó điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là –2 < k < 0. (*)

Giả sử x₁ < 0 < x₂.

⦁ Để phương trình đã cho có nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm, tức là x₂ < 0 < |x₁|.

Mà x₁ < 0 nên |x₁| = –x₁.

Khi đó, ta có x₂ < –x₁ hay x₁ + x­₂ < 0.

Tức là, –2(k + 1) < 0

                  k + 1 > 0

                  k > –1.  (**).

Kết hợp hai điều kiện (*) và (**), ta có –1 < k < 0.

Dễ thấy, với các giá trị k sao cho –1 < k < 0 thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Vậy các giá trị k cần tìm là các giá trị k sao cho –1 < k < 0.