Gọi C và D là giao điểm của hai đường tròn (A; 50 km) và \(\left( {B;\,\,50\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}} \right).\)

Ta có: \[A{C^2} + B{C^2} = {50^2} + {\left( {50\sqrt 3 } \right)^2} = 2\,\,500 + 7\,\,500 = 10\,\,000;\]

            AB² = 100² = 10 000.

Ta thấy AC² + BC² = AB², suy ra ∆ABC vuông tại C (định lí Pythagore đảo).

Xét ∆ABC vuông tại C có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac = \frac{1}{2},\) suy ra \(\widehat {ABC} = 30^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {CAB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\)

Tương tự, ta có: \(\widehat {ABD} = 30^\circ ;\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ .\)

Do đó \(\widehat {CBD} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ ;\)

           \(\widehat {CAD} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ .\)

Xét ∆BCD có BC = BD và \[\widehat {CBD} = 60^\circ \] nên là tam giác đều, suy ra \(CD = 50\sqrt 3 \;{\rm{km}}.\)

Diện tích của hình quạt tròn ACD được giới hạn bởi bán kính AC, bán kính AD và cung nhỏ CD của đường tròn (A; 50 km) là:

\({S_1} = \frac{{\pi \cdot {{50}^2} \cdot 120}} = \frac{{2\,\,500\pi }}{3}\,\,(\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích hình quạt tròn BCD được giới hạn bởi bán kính BC, bán kính BD và cung nhỏ CD của đường tròn \(\left( {B;\,\,50\sqrt 3 \;{\rm{cm}}} \right)\) là:

\({S_2} = \frac{{\pi \cdot {{\left( {50\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot 60}} = 1\,\,250\pi \,\,({\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích tứ giác ABCD là:

\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 50\sqrt 3 = 2\,\,500\sqrt 3 \,\,(\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm A và trạm B là

\({S_1} + {S_2} - {S_{ABCD}} = \frac{{2\,\,500\pi }}{3} + 1\,\,250\pi - 2\,\,500\sqrt 3 \approx 2\,\,214,86\,\,(\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).\)