Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính ADa) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \). b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \). c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \). d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính ADa) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \).

c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).

d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).

1 trả lời
Hỏi chi tiết
18
0
0
Nguyễn Thu Hiền
12/09 11:36:42

Lời giải

a) Kẻ đường cao BG, CF của tam giác ABC

Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của BG và CF

Vì tam giác ABD nội tiếp (O) đường kính AD

Nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra AB ⊥ BD

Mà AB ⊥ CF, do đó BD // CF (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vì tam giác ACD nội tiếp (O) đường kính AD

Nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra AC ⊥ CD

Mà AC ⊥ BG, do đó BG // CD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác BHCD có

BD // CF (chứng minh trên);

BG // CD (chứng minh trên)

Suy ra BHCD là hình bình hành

Do đó \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).

b) Xét hình bình hành BHCD có M là trung điểm BC

BC, HD là hai đường chéo

Suy ra M là trung điểm của HD

Xét tam giác AHD có O là trung điểm của AD, M là trung điểm của HD

Suy ra OM là đường trung bình

Do đó \(OM = \frac{1}{2}AH\)

Suy ra \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \)

c) Ta có \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)

\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)

\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {HH'} \)

Vậy \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).

d) Xét (O) có △BCD’ và △BAD’ nội tiếp (O) đường kính BD’

Suy ra △BCD’ vuông tại A và △BAD’ vuông tại C

Khi đó AB ⊥ AD’ và BC ⊥ CD’

Ta có AB ⊥ CH, AB ⊥ AD’ nên CH // AD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Ta có BC ⊥ AH, BC ⊥ CD’ nên AH // CD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác AHCD’ có

CH // AD’ và AH // CD’ (chứng minh trên)

Suy ra AHCD’ là hình bình hành

Do đó AH = D’C

Suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500K