Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính ADa) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \).
c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Kẻ đường cao BG, CF của tam giác ABC
Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của BG và CF
Vì tam giác ABD nội tiếp (O) đường kính AD
Nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra AB ⊥ BD
Mà AB ⊥ CF, do đó BD // CF (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Vì tam giác ACD nội tiếp (O) đường kính AD
Nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra AC ⊥ CD
Mà AC ⊥ BG, do đó BG // CD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác BHCD có
BD // CF (chứng minh trên);
BG // CD (chứng minh trên)
Suy ra BHCD là hình bình hành
Do đó \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Xét hình bình hành BHCD có M là trung điểm BC
BC, HD là hai đường chéo
Suy ra M là trung điểm của HD
Xét tam giác AHD có O là trung điểm của AD, M là trung điểm của HD
Suy ra OM là đường trung bình
Do đó \(OM = \frac{1}{2}AH\)
Suy ra \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \)
c) Ta có \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {HH'} \)
Vậy \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Xét (O) có △BCD’ và △BAD’ nội tiếp (O) đường kính BD’
Suy ra △BCD’ vuông tại A và △BAD’ vuông tại C
Khi đó AB ⊥ AD’ và BC ⊥ CD’
Ta có AB ⊥ CH, AB ⊥ AD’ nên CH // AD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Ta có BC ⊥ AH, BC ⊥ CD’ nên AH // CD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác AHCD’ có
CH // AD’ và AH // CD’ (chứng minh trên)
Suy ra AHCD’ là hình bình hành
Do đó AH = D’C
Suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |