Để rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} + \frac{5}{5 + 2\sqrt{5}} \), ta sẽ thực hiện từng phần.

### Phần 1: Rút gọn \( \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} \)

Ta sẽ tìm cách viết \( 29 - 12\sqrt{5} \) dưới dạng \( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \).

Giả sử:
\[
\sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}
\]
Khi bình phương hai vế, ta có:
\[
29 - 12\sqrt{5} = a + b - 2\sqrt{ab}
\]

Ta có hệ phương trình:
1. \( a + b = 29 \)
2. \( -2\sqrt{ab} = -12\sqrt{5} \) \( \Rightarrow \) \( \sqrt{ab} = 6\sqrt{5} \) \( \Rightarrow \) \( ab = 180 \)

Giải hệ trên:
1. Ta có \( b = 29 - a \)
2. Thay vào \( ab = 180 \):
\[
a(29 - a) = 180
\]
\( \Rightarrow \) \( a^2 - 29a + 180 = 0 \)

Giải phương trình bậc hai:
\[
D = 29^2 - 4 \times 1 \times 180 = 841 - 720 = 121
\]
\[
a = \frac{29 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{29 \pm 11}{2}
\]
Có hai nghiệm:
\[
a_1 = 20, \quad a_2 = 9
\]

Vậy \( a = 20 \), \( b = 9 \) (hoặc ngược lại). Do đó:
\[
\sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{20} - \sqrt{9} = 2\sqrt{5} - 3
\]

### Phần 2: Rút gọn \( \frac{5}{5 + 2\sqrt{5}} \)

Ta nhân cả tử và mẫu với \( 5 - 2\sqrt{5} \):
\[
\frac{5(5 - 2\sqrt{5})}{(5 + 2\sqrt{5})(5 - 2\sqrt{5})}
\]
Tính mẫu:
\[
(5 + 2\sqrt{5})(5 - 2\sqrt{5}) = 25 - 20 = 5
\]
Vậy:
\[
\frac{5(5 - 2\sqrt{5})}{5} = 5 - 2\sqrt{5}
\]

### Kết hợp các phần lại

Bây giờ ta có:
\[
A = (2\sqrt{5} - 3) + (5 - 2\sqrt{5}) = (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (5 - 3) = 2
\]

Như vậy, biểu thức rút gọn được là:
\[
\boxed{2}
\]