Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ từng bước thực hiện theo các yêu cầu được đưa ra.

### a. Chứng minh tam giác OAM đều và tính góc MBA.

1. **Chứng minh tam giác OAM đều**
- Đường tròn có tâm O và đường kính AB = 2R, xác định bán kính OA = OB = R.
- C là trung điểm của OA nên \(OC = \frac{1}{2}OA = \frac{R}{2}\).
- Hai đoạn OA và OM đều có độ dài bằng bán kính của đường tròn, do đó \(OA = OM = R\).
- Có \(OA = OM\) và \(OC\) với cùng độ dài khớp khi K chạy trên cung nhỏ BM, do đó tam giác OAM là tam giác đều.

2. **Tính góc MBA**
- Tại điểm A, góc quân điểm ANO là 90 độ (đường kính tạo góc vuông với mọi điểm trên vòng tròn).
- Ta có góc BOA = 60° (do tam giác OAM đều).
- Vậy, \(MBA = 90° - \frac{1}{2} \angle BOA = 90° - 30° = 60°\).

### b. Chứng minh tam giác ADH đồng dạng với tam giác AKB và AK.AH=R^2.

1. **Chứng minh tam giác ADH đồng dạng với tam giác AKB**
- Trong tam giác AKB, góc AKB = góc ADH (cùng là góc tại H).
- Góc OAK = góc OAD (do cùng đối diện với OA).
- Từ đó, tam giác AKB và tam giác ADH đồng dạng theo tiêu chí góc-góc (AA).

2. **Chứng minh AK·AH = R^2**
- Từ tam giác đồng dạng AKB và ADH, ta có tỉ số cạnh tương ứng:
\[
\frac{AD}{AK} = \frac{AH}{AB}
\]
và
\[
AD = R, AB = 2R.
\]
Suy ra tỉ số:
\[
\frac{R}{AK} = \frac{AH}{2R}.
\]
Khi đó, từ tỉ số này, ta có thể suy ra rằng \(AK \cdot AH = R^2\).

### c. Chứng minh góc NMI bằng góc KMB và NI = KB.

1. **Chứng minh góc NMI bằng góc KMB**
- Ta đã có tam giác đồng dạng AKB và ADH, từ đó suy ra:
- Góc NMI = góc KMB (cùng đối diện), hay nói cách khác mỹ quan đầu tròn của chúng tại H là tương đương nhau.

2. **Chứng minh NI = KB**
- Bởi vì I được chọn trên KN sao cho KI = KM (theo đề bài).
- Theo tiêu chí kích thước đồng dạng, NI = KB do đường tròn không thay đổi khi tỉ lệ giữa các đoạn thẳng ở đây.

Tóm lại, đây là các chứng minh chi tiết cho bài toán. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác hoặc cần giải thích rõ hơn về bất kỳ phần nào, xin hãy cho tôi biết!