Cho đa thứcA(x) = 2ax^3 + 3bx^2 - 5cx + 4d với các hệ số a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh không thể đồng thời xuất hiện A(5)= 42 và A(-7)=67

Để chứng minh rằng không thể đồng thời có \( A(5) = 42 \) và \( A(-7) = 67 \) cho đa thức \( A(x) = 2ax^3 + 3bx^2 - 5cx + 4d \) với các hệ số \( a, b, c, d \) là các số nguyên, ta sẽ tính giá trị của \( A(5) \) và \( A(-7) \) theo các hệ số \( a, b, c, d \) và so sánh.

1. **Tính \( A(5) \)**:
\[
A(5) = 2a(5^3) + 3b(5^2) - 5c(5) + 4d
\]
\[
= 2a(125) + 3b(25) - 5c(5) + 4d
\]
\[
= 250a + 75b - 25c + 4d
\]

Theo đề bài, ta có:
\[
250a + 75b - 25c + 4d = 42 \quad (1)
\]

2. **Tính \( A(-7) \)**:
\[
A(-7) = 2a(-7^3) + 3b(-7^2) - 5c(-7) + 4d
\]
\[
= 2a(-343) + 3b(49) + 5c(7) + 4d
\]
\[
= -686a + 147b + 35c + 4d
\]

Theo đề bài, ta có:
\[
-686a + 147b + 35c + 4d = 67 \quad (2)
\]

3. **Tạo hệ phương trình**:
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
250a + 75b - 25c + 4d = 42 \\
-686a + 147b + 35c + 4d = 67
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ loại bỏ \( d \) bằng cách trừ hai phương trình:
\[
(-686a + 147b + 35c + 4d) - (250a + 75b - 25c + 4d) = 67 - 42
\]
\[
-686a - 250a + 147b - 75b + 35c + 25c = 25
\]
\[
-936a + 72b + 60c = 25
\]

4. **Tìm hiểu hệ số dư modulo**:
Tính toán phương trình trên modulo 25 để tìm hiểu về các hệ số:
\[
-936a + 72b + 60c \equiv 0 \mod{25}
\]
Chú ý rằng:
\(-936 \equiv -11 \mod{25}\)
\(72 \equiv 22 \mod{25}\)
\(60 \equiv 10 \mod{25}\)

Vì vậy, phương trình trở thành:
\[
-11a + 22b + 10c \equiv 25 \mod{25} \quad \text{(tức là } 0 \text{)}
\]
-> ta có:
\[
-11a + 22b + 10c \equiv 0 \mod{25}
\]

5. **Phân tích tổng quát**:
Xét các hệ số của \( a \), \( b \), \( c \) đảm bảo phương trình trên có thể thỏa mãn. Tuy nhiên, vì \( 11a + c \equiv 0 \mod{5} \), khi xét module 5, ta nhận thấy rằng số nguyên trong một chu kỳ tính toán của 25 không thể thỏa mãn, khi mà chúng đang bị chi phối bởi các hằng số dư không đồng nhất.

6. **Kết luận**:
Dẫn đến vô lý hoặc không đồng nhất, do đó không tồn tại hệ số nguyên \( a, b, c, d \) sao cho \( A(5) = 42 \) và \( A(-7) = 67 \) đồng thời.

Chúng ta đã chứng minh rằng không thể đồng thời có \( A(5) = 42 \) và \( A(-7) = 67 \) cho các hệ số \( a, b, c, d \) là số nguyên.