Để chứng minh tứ giác \( ADEF \) là hình thoi, ta cần chứng minh cả bốn cạnh \( AD, DE, EF, FA \) đều bằng nhau.

### Bước 1: Chứng minh \( AE = EF \)

Vì \( EF \) là đường thẳng song song với \( AB \), và \( E \) nằm trên \( AC \), do đó:

\[
\angle AEF = \angle EAB
\]

Tương tự, ta có:

\[
\angle EAF = \angle AEF
\]

Do đó, tam giác \( AEF \) là tam giác cân tại \( A \).

### Bước 2: Chứng minh \( AD = AE \)

Vì \( AD \) là đường thẳng song song với \( AC \), và \( E \) nằm trên \( AB \), tương tự như trên, ta có:

\[
\angle AED = \angle EAC
\]

Vì tam giác \( ADE \) cũng là tam giác cân tại \( A \).

### Bước 3: Kết luận

Từ các tính chất trên, ta chứng minh được rằng:

\[
AE = EF \quad \text{và} \quad AD = AE
\]
Vì \( AD = AE = EF \) và do đó \( ADEF \) là hình thoi.

### Tóm tắt:
1. \( EF \parallel AB \) ⇒ \( \angle AEF = \angle EAB \)
2. \( AD \parallel AC \) ⇒ \( \angle AED = \angle EAC \)
3. Tam giác \( AEF \) và \( ADE \) đều là tam giác cân.
4. Dẫn đến \( AD = DE = EF = FA \).

Do đó, \( ADEF \) là hình thoi.