Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, dây cung DE. Tia DE cắt AB ở C. Biết góc \[\widehat {DOE} = 90^\circ \] và OC = 3R.
a) Tính độ dài CD và CE theo R.
b) Chứng minh: CD . CE = CA . CB.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Xét ∆ODE có: \[\widehat {DOE} = 90^\circ \] và OD = OE = R
Do đó ∆ODE vuông cân tại O
• DE2 = OD2 + OE2 (Định lý Py-ta-go trong tam giác ODE vuông)
⇔ DE2 = 2R2
⇔ \[DE = \sqrt 2 R\]
• DE . OH = OD . OE (Hệ thức lượng trong ODE vuông)
⇔ \[\sqrt 2 R.OH = {R^2}\]
⇔ \[OH = \frac{{{R^2}}}{{\sqrt 2 R}} = \frac{R}{{\sqrt 2 }}\]
Xét ∆OHC có: \[\widehat {DHC} = 90^\circ \]
HC2 = DC2 – OH2
\[ \Leftrightarrow H{C^2} = 9{{\rm{R}}^2} - \frac{{{R^2}}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow H{C^2} = \frac{{17{R^2}}}{2}\]
\[ \Rightarrow HC = \frac{{R\sqrt {34} }}{2}\] (cm) (1)
Mà \[DH = HE = \frac{2} = \frac{{\sqrt 2 R}}{2}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC = HC + DH
= \[\frac{{\sqrt {34} R}}{2} + \frac{{\sqrt 2 R}}{2} = \frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\] (cm)
Ta có: CE = HC – HE
= \[\frac{{\sqrt {34} R}}{2} - \frac{{\sqrt 2 R}}{2} = \frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2}\] (cm)
Vậy CD = \[\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\]
CE = \[\frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2}\]
b) Ta có: DC . CE = AC . BC
⇔ \[\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2} \cdot \frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2} = 4{\rm{R}} \cdot 2{\rm{R}}\]
⇔ 8R2 = 8R2
Vậy CD . CE = AC . BC
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |