Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C):x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.

Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C):x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
9
0
0
Nguyễn Thị Sen
12/09 15:47:52

+) Xét trường hợp a > 0.

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt

⇒b2−4ac>0.

Xét phương trình đường tròn (C):x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.

có ba−2p22+1a22−ca=b2a−p2+12a2−ca

=b24a2−ba.p+p2+14a2−ca=b24a2−ca−ba.p+p2+14a2=b2−4ac4a2−ba.p+p2+14a2

Vì b < 0 và b2−4ac>0 (chứng minh trên) nên −ba.p> 0 và b2−4ac4a2>0

Do đó ba−2p22+1a22−ca>0.

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y2 = 2px và y = ax2 + bx + c ⇒ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0

⇒ y2 – 2px = 0 và x2+bax+ca−ya=0

⇒x2+bax+ca−ya+y2−2px=0

⇒x2+y2+bax−2px−ya+ca=0

⇒x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 10 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 10 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500K