Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C):x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
+) Xét trường hợp a > 0.
Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).
Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt
⇒b2−4ac>0.Xét phương trình đường tròn (C):x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.
có ba−2p22+1a22−ca=b2a−p2+12a2−ca
=b24a2−ba.p+p2+14a2−ca=b24a2−ca−ba.p+p2+14a2=b2−4ac4a2−ba.p+p2+14a2
Vì b < 0 và b2−4ac>0 (chứng minh trên) nên −ba.p> 0 và b2−4ac4a2>0
Do đó ba−2p22+1a22−ca>0.
Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.
+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.
+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:
Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:
y2 = 2px và y = ax2 + bx + c ⇒ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0
⇒ y2 – 2px = 0 và x2+bax+ca−ya=0
⇒x2+bax+ca−ya+y2−2px=0
⇒x2+y2+bax−2px−ya+ca=0
⇒x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.
Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |