Để chứng minh biểu thức \(D = 9x^2 - 6x + 25y^2 + 10y + 4\) luôn dương, chúng ta sẽ phân tích các phần trong biểu thức này.

### Bước 1: Nhóm các biến

Ta có thể nhóm các biến \(x\) và \(y\) lại:

\[
D = 9x^2 - 6x + 25y^2 + 10y + 4
\]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương cho phần \(x\)

Xét phần liên quan đến \(x\):

\[
9x^2 - 6x = 9\left(x^2 - \frac{2}{3}x\right)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - \frac{2}{3}x = \left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}
\]

Vậy:

\[
9\left(x^2 - \frac{2}{3}x\right) = 9\left(\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}\right) = 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - 1
\]

### Bước 3: Hoàn thành bình phương cho phần \(y\)

Tiếp theo, xét phần liên quan đến \(y\):

\[
25y^2 + 10y = 25\left(y^2 + \frac{2}{5}y\right)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
y^2 + \frac{2}{5}y = \left(y + \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{25}
\]

Vậy:

\[
25\left(y^2 + \frac{2}{5}y\right) = 25\left(\left(y + \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{25}\right) = 25\left(y + \frac{1}{5}\right)^2 - 1
\]

### Bước 4: Kết hợp lại

Kết hợp các phần đã hoàn thành bình phương:

\[
D = \left(9\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - 1\right) + \left(25\left(y + \frac{1}{5}\right)^2 - 1\right) + 4
\]

Rút gọn:

\[
D = 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + 25\left(y + \frac{1}{5}\right)^2 + 4 - 2
\]

\[
D = 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + 25\left(y + \frac{1}{5}\right)^2 + 2
\]

### Bước 5: Kết luận

Biểu thức \(D\) là tổng của một số dương (2) và các bình phương không âm \((9\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 \geq 0,\ 25\left(y + \frac{1}{5}\right)^2 \geq 0)\).

Do đó, \(D\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\) và \(y\):

\[
D > 0 \quad \forall x, y
\]

Điều này chứng tỏ rằng \(D = 9x^2 - 6x + 25y^2 + 10y + 4\) luôn dương.