Để chứng minh rằng \( G = x^2 + 4x + y^2 - 6y + 15 \) luôn dương, chúng ta có thể hoàn thành bình phương cho các phần của đa thức.

### Bước 1: Hoàn thành bình phương cho phần \( x \)

Xét phần \( x^2 + 4x \):
\[
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
\]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương cho phần \( y \)

Xét phần \( y^2 - 6y \):
\[
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
\]

### Bước 3: Thay thế vào \( G \)

Thay các kết quả trên vào biểu thức \( G \):
\[
G = \left((x + 2)^2 - 4\right) + \left((y - 3)^2 - 9\right) + 15
\]
\[
G = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 - 9 + 15
\]
\[
G = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + 2
\]

### Bước 4: Phân tích biểu thức cuối cùng

Biểu thức \( (x + 2)^2 \) và \( (y - 3)^2 \) đều là các bình phương, do đó chúng không bao giờ âm và luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Vậy:
\[
G = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \geq 0 + 0 + 2 = 2
\]

### Kết luận

Vì vậy, chúng ta có chứng minh rằng \( G \) luôn dương (thực tế \( G \) luôn lớn hơn hoặc bằng 2).