Theo định lý hàm sin, ta có:

\[\frac{{\sin \widehat {OAB}}} = \frac{{\sin \widehat {AOB}}}\]

\[ \Leftrightarrow OB = \frac{{\sin \widehat {AOB}}}.\sin \widehat {OAB}\]

\[ = \frac{1}{{\sin 30^\circ }}.\sin \widehat {OAB} = 2\sin \widehat {OAB}\]

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi \[\sin \widehat {OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ \]

Khi đó OB = 2

Tam giác OAB vuông tại A

\[ \Rightarrow OA = \sqrt {O{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \]

Đáp án cần chọn là: B