a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài  của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có: 2πr = Rx ⇔ r = \(\frac{{2\pi }}\).

Mặt khác h = \(\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) = \(\sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \) = \(\frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).

b) Thể tích của hình nón là:

V = \(\frac{1}{3}\pi {r^2}h\) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), 0 < x < 2π.

c) Ta cần tìm x ∈ (0; 2π) sao cho thể tích V đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số f(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), x ∈ (0; 2π).

Ta có: f'(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}.\frac{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)

           f'(x) = 0 ⇔ x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hình nón có thể tích lớn nhất khi x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.

Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{x \in (0;2\pi )} V = f\left( {\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}\pi {R^3}\).