Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện:

Để giải bài toán cho các số thực \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn điều kiện \(1 < a < 2 < b < 3 < c < 4\) và biểu thức:

\[
(a-1)\sqrt{-b^2 + 4b - 3} + (b-2)\sqrt{-c^2 + 6c - 8} + (c-3)\sqrt{-a^2 + 2a} = \frac{3}{2}
\]

Chúng ta sẽ xác định từng phần trong biểu thức trên.

1. **Xác định các căn bậc hai:**
- \( -b^2 + 4b - 3 = -(b-2)(b-2) \)
- \( -c^2 + 6c - 8 = -(c-2)(c-4) \)
- \( -a^2 + 2a = -(a-1)(a-1) \)

2. **Áp dụng các điều kiện:**
- Vì \(1 < a < 2\), nên \(\sqrt{-a^2 + 2a} = \sqrt{(a-1)(1-a)}\) sẽ không thể có giá trị dương, do đó phần này sẽ bằng 0.
- Với \(2 < b < 3\) và \(3 < c < 4\):
- \(\sqrt{-b^2 + 4b - 3}\) và \(\sqrt{-c^2 + 6c - 8}\) sẽ có giá trị dương.

3. **Thay vào biểu thức:**
- Thay các giá trị vào và giải phương trình.

Từ đó, ta có thể tìm giá trị của \(A = a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + 2b + 3c)\).

**Kết luận:**
Ta cần tìm và tính giá trị của \(A\) dựa trên cách phân tích trên và thông tin đã cho. Bạn có thể thực hiện tiếp các phép tính cụ thể để có giá trị chính xác của \(A\).