Cho x, y, z > 0, xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của 1/x+2y+z+2 +1/y+2z+x+2 +1/z+2x+y+2

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
S = \frac{1}{x + 2y + z + 2} + \frac{1}{y + 2z + x + 2} + \frac{1}{z + 2x + y + 2}
\]

trong điều kiện \(xyz = 1\), với \(x, y, z > 0\), chúng ta sẽ áp dụng một số bất đẳng thức trong bất đẳng thức học (như Cauchy-Schwarz hay AM-GM).

Trước hết, hãy biểu diễn các biến \(x, y, z\) bằng một biến chung. Đặt \(x = a\), \(y = b\), \(z = c\) với \(abc = 1\). Sau đó, ta có mục tiêu là tìm cực trị của biểu thức trên.

Theo điều kiện \(abc = 1\), có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho từng tổng trong từng mẫu số:

\[
x + 2y + z + 2 \geq 4\sqrt[4]{x \cdot 2y \cdot z \cdot 2}
\]

Trong trường hợp này có thể biến đổi thành:

\[
x + 2y + z + 2 \geq 4\sqrt[4]{4xyz}
\]

Khi \(xyz = 1\), ta có:

\[
x + 2y + z + 2 \geq 4\sqrt[4]{4} = 4 \cdot \sqrt{2}
\]

Tương tự cho các mẫu số còn lại, như vậy chúng ta cũng có:

\[
y + 2z + x + 2 \geq 4\sqrt[4]{4}
\]
\[
z + 2x + y + 2 \geq 4\sqrt[4]{4}
\]

Thay chúng vào biểu thức \(S\):

\[
S \leq \frac{1}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}
\]

Giá trị cực đại này xảy ra khi \(x = y = z = 1\), vì lúc đó \(xyz = 1\) và \(x + 2y + z + 2 = 4\) đạt được.

Vậy:

\[
\boxed{\frac{3}{4\sqrt{2}}}
\]

là giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho.