Lời giải

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(1; 2) và B(– 3; 4)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \left( {k - 3} \right).1 + k'\\4 = \left( {k - 3} \right).\left( { - 3} \right) + k'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + k' = 5\\k' - 3k = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + k' = 5\\4k = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k' = \frac{5}{2}\\k = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hàm số có dạng \(y = \frac{{ - 1}}{2}x + \frac{5}{2}\).

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 - \sqrt 2 \) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(1 + \sqrt 2 \)nên (d) đi qua hai điểm \(\left( {0;1 - \sqrt 2 } \right),\left( {1 + \sqrt 2 ;0} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt 2 = \left( {k - 3} \right).0 + k'\\0 = \left( {k - 3} \right).\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + k'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k' = 1 - \sqrt 2 \\0 = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)k - 3 - 3\sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k' = 1 - \sqrt 2 \\k = \frac\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k' = 1 - \sqrt 2 \\k = \frac{{\left( {2 + 4\sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k' = 1 - \sqrt 2 \\k = - 6 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy hàm số có dạng \(y = \left( { - 6 + 2\sqrt 2 } \right)x + 1 - \sqrt 2 \).

c) Ta có 2y – 4x + 5 = 0 \( \Leftrightarrow y = 2{\rm{x}} - \frac{5}{2}\)

Để đường thẳng (d) cắt đường thẳng 2y – 4x + 5 = 0 thì  k – 3 ≠ 2

⇔ k ≠ 5.

d) Ta có y – 2x – 1 = 0 ⇔ y = 2x + 1

Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y – 2x – 1 = 0 thì  \(\left\{ \begin{array}{l}k - 3 = 2\\k' \ne 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 5\\k' \ne 1\end{array} \right.\).

e) Ta có 3x + y – 5 = 0 ⇔ y = – 3x + 5

Để đường thẳng (d) trùng với đường thẳng 3x + y – 5 = 0 thì \(\left\{ \begin{array}{l}k - 3 = - 3\\k' = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k' = 5\end{array} \right.\).