Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của AB cắt các đường chéo AC và BD tại E và K, biết AE = 15cm, BK = 20cm

Để giải quyết bài toán liên quan đến hình thoi ABCD với các đoạn thẳng đã cho, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thoi và định lý liên quan đến đường trung trực.

**Các đoạn đã cho:**
- AE = 15 cm
- BK = 20 cm

**Giải quyết từng phần:**

### a) Xác minh \( AO \cdot AE = \frac{AB^2}{2} \)

Trong hình thoi, trọng tâm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Theo định lý về đường trung trực, ta có:
\[ AO \cdot AE = \frac{AB^2}{2} \]

Trước tiên, chúng ta cần tính AO. Bởi vì O là trọng tâm của hình thoi cùng với AE mà ta đã biết, có thể viết:
\[
AO = AE = 15 \text{ cm}
\]
Sau đó, thay vào công thức:
\[
15 \cdot AE = \frac{AB^2}{2}
\]

### b) Xác minh \( AO \cdot AE + BO \cdot BK = AB^2 \)

Tiếp theo, ta có đoạn BO. Trong hình thoi, các đoạn BO và AO sẽ có sự tương quan cụ thể. Ta cũng có thể viết từ tính chất tương đồng của tam giác.

Tiếp tục với:
\[ BO = BK = 20 \text{ cm} \]

Với \( AO \) và \( BO \):
\[
AO \cdot AE + BO \cdot BK = 15 \cdot 15 + 20 \cdot 20
\]
Tính toán:
\[
= 225 + 400 = 625
\]
Điều này tương ứng với \( AB^2 \). Do đó, ta có thể đưa ra khẳng định:
\[
AO \cdot AE + BO \cdot BK = AB^2 \text{ đúng.}
\]

### c) Tính cạnh hình thoi

Từ điều kiện:
\[
AB^2 = 625
\]
Ta có:
\[
AB = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

### Kết luận
Cạnh của hình thoi ABCD là \( 25 \text{ cm} \).