LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho \[M = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}\]. Chứng minh rằng: a) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì M < 1. b) Nếu M = 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của M = 1, phân thức còn lại bằng -1.

Cho \[M = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}\]. Chứng minh rằng:

a) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì M < 1.

b) Nếu M = 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của M = 1, phân thức còn lại bằng -1.
1 trả lời
Hỏi chi tiết
8
0
0
Nguyễn Thu Hiền
13/09 13:40:20

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} = x\\\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} = y\\\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}} = z\end{array} \right.\].

a) Ta chứng minh x + y + z > 1 hay x + y + z - 1 > 0       (1)

Ta có BĐT (1) Û (x + 1) + (y - 1) + (z - 1) > 0     (2)

Ta có: x + 1 = \[\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} + 1 = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}} = \frac{{\left( {a + b - c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}\]

và y - 1 = \[\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} - 1 = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}}} = \frac{{\left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)}}\]

và z - 1 = \[\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}} - 1 = \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2} - {b^2}}} = \frac{{\left( {c - a - b} \right)\left( {c - a + b} \right)}}\]

(2) Û \[\left( {a + b - c} \right)\left[ {\frac{{c\left( {a + b + c} \right) + a\left( {b - c - a} \right) - b\left( {c - a + b} \right)}}} \right] > 0\]

Û (a + b - c)[c2 - (a - b)2] > 0 (abc > 0)

Û (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) > 0

BĐT cuối đúng vì a, b, c thoả mãn BĐT D (đpcm).

b) Để M = 1 Û (z + 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0

Û (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) = 0

Từ trên ta suy ra được 3 trường hợp:

• Trường hợp 1: a + b - c = 0

 Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\]

• Trường hợp 2: a - b + c = 0

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = \frac{{\left( {a - b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)}} = 0\\y - 1 = 0\\z + 1 = \frac{{\left( {c + a - b} \right)\left( {c + a + b} \right)}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = - 1\end{array} \right.\]

• Trường hợp 3: -a + b + c = 0

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 1 = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)}}\\z - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\].

Từ các trường hợp trên ta thấy trường hợp nào cũng có 2 trong 3 phân thức x, y, z = 1 và còn lại đều bằng −1 (đpcm).

Vậy M = 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của M = 1, phân thức còn lại bằng -1.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư