Cho \[M = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}\]. Chứng minh rằng:
a) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì M < 1.
b) Nếu M = 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của M = 1, phân thức còn lại bằng -1.Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} = x\\\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} = y\\\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}} = z\end{array} \right.\].
a) Ta chứng minh x + y + z > 1 hay x + y + z - 1 > 0 (1)
Ta có BĐT (1) Û (x + 1) + (y - 1) + (z - 1) > 0 (2)
Ta có: x + 1 = \[\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} + 1 = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}} = \frac{{\left( {a + b - c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}\]
và y - 1 = \[\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} - 1 = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}}} = \frac{{\left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)}}\]
và z - 1 = \[\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}} - 1 = \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2} - {b^2}}} = \frac{{\left( {c - a - b} \right)\left( {c - a + b} \right)}}\]
(2) Û \[\left( {a + b - c} \right)\left[ {\frac{{c\left( {a + b + c} \right) + a\left( {b - c - a} \right) - b\left( {c - a + b} \right)}}} \right] > 0\]
Û (a + b - c)[c2 - (a - b)2] > 0 (abc > 0)
Û (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) > 0
BĐT cuối đúng vì a, b, c thoả mãn BĐT D (đpcm).
b) Để M = 1 Û (z + 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0
Û (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) = 0
Từ trên ta suy ra được 3 trường hợp:
• Trường hợp 1: a + b - c = 0
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\]
• Trường hợp 2: a - b + c = 0
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = \frac{{\left( {a - b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)}} = 0\\y - 1 = 0\\z + 1 = \frac{{\left( {c + a - b} \right)\left( {c + a + b} \right)}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = - 1\end{array} \right.\]
• Trường hợp 3: -a + b + c = 0
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 1 = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)}}\\z - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\].
Từ các trường hợp trên ta thấy trường hợp nào cũng có 2 trong 3 phân thức x, y, z = 1 và còn lại đều bằng −1 (đpcm).
Vậy M = 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của M = 1, phân thức còn lại bằng -1.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |