Xét parabol y = ax² − bx + 1 với a ¹ 0:

a) Parabol có đỉnh I(−2; 37) nghĩa là \[\frac{b} = - 2 \Leftrightarrow b = - 4a\;\left( 3 \right)\]

Mặt khác ta thay tọa độ điểm I vào parabol y = ax² − bx + 1, ta được:

37 = a.(−2)² − b.(−2) + 1 

Û 4a + 2b = 36 hay 2a + b = 18 (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\2a + b = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\2a - 4a = 18\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\ - 2a = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 36\\a = - 9\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy parabol cần tìm là: y = −9x² − 36x + 1.

b) Parabol có trục đối xứng là \(x = - 1 \Leftrightarrow \frac{b} = - 1 \Leftrightarrow b = - 2a\) (5)

Thay x = −1 và y = 5 vào parabol y = ax² − bx + 1, ta được:

5 = a.(−1)² − b.(−1) + 1 

Û a + b = 4 (6)

Từ (5) và (6) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2a\\a - 2a = 4\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}b = - 2a\\ - a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 8\\a = - 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy parabol cần tìm là: y = −4x² − 8x + 1.