Giải

Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c.  Độ dài ba đường cao tương ứng là \[{h_a};{h_b};{h_c}\]. Theo đề bài ta có : \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5}\] và \[a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\left( 1 \right)\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5} = \frac{{{h_a} + {h_b} - {h_b} - {h_c}}} = {h_a} - {h_c}\]

\[ \Rightarrow {h_c} + {h_a} = 5{h_a} - 5{h_c} \Rightarrow 2{h_a} = 3{h_c} \Rightarrow \frac{}{3} = \frac{}{2}\left( 2 \right)\]

Mặt khác \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{2{h_a} + 2{h_b}}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{3{h_c} + 2{h_b}}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6}\]

\[ \Rightarrow 3\left( {3{h_c} + 2{h_b}} \right) = 7\left( {{h_b} + {h_c}} \right) \Rightarrow 9{h_c} + 6{h_b} = 7{h_b} + 7{h_c} \Rightarrow 2{h_c} = {h_b} \Rightarrow \frac{}{2} = \frac{}{4}\left( 3 \right)\]

Từ (2),(3) suy ra : \[\frac{}{3} = \frac{}{4} = \frac{}{2}\]

Đặt \[\frac{}{3} = \frac{}{4} = \frac{}{2} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow {h_a} = 3k;{h_b} = 4k;{h_c} = 2k\]

Kết hợp với (1), ta có : \[3a = 4b = 2c \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{6}\]

Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.