Ta có: \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}  = 1 - xy\)

\( \Rightarrow \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right) = {\left( {1 - xy} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} = 1 - 2xy + {x^2}{y^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y =  - x\)

\( \Rightarrow x\sqrt {1 + {y^2}}  + y\sqrt {1 + {x^2}}  = x\sqrt {1 + {x^2}}  - x\sqrt {1 + {x^2}}  = 0\)

Nhận xét: Bài toán hay ở chỗ khai thác triệt để giả thiết, vì giả thiết là manh mối quyết định bài toán, khi tìm được \(x =  - y\) thì việc chứng minh trở nên rất đơn giản.