Theo tính chất của hai tiếp tuyến của hai đường tròn, ta có:

DOM=12BOM, MOE=12MOC

Cộng vế theo vế, ta được:

DOE=12BOC

Mà 12BOC=AOC=OQE  (vì AOC và OQE cùng phụ với QAO)

Nên DOE=OQE

Xét tam giác ODE và tam giác QOE, ta có:

DOE=QOE (cmt)

OED=OEQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ΔODE~ΔQOE (g.g)

Chứng minh tương tự ⇒ΔODE~ΔPDO

⇒ΔQOE~ΔPDO (tính chất bắc cầu)

⇒QOPD=QEPO⇒PD.QE=PO.QO=PQ2.PQ2=PQ24

⇒4PD.QE=PQ2. (đpcm)