Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức:

\[
(2x - 6) \cdot \left( \frac{1}{2025} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \cdots + \frac{1}{2} + 1 \right).
\]

Trước tiên, ta tính giá trị của tổng:

\[
S = \frac{1}{2025} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \ldots + \frac{1}{2} + 1.
\]

Tổng này gồm nhiều số hạng, và có thể được ước lượng nhưng sẽ không cần thiết trong bài này.

Giờ ta có:

\[
(2x - 6) \cdot S = 0.
\]

Để phương trình này có nghiệm, một trong hai yếu tố phải bằng 0:

1. \(2x - 6 = 0\)
2. \(S = 0\) (không xảy ra vì S là tổng của các số dương)

Giải phương trình đầu tiên:

\[
2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3.
\]

Vậy nghiệm của biểu thức là:

\[
\boxed{3}.
\]