Để tìm các số nguyên tố \( p \) và \( q \) sao cho \( p^q + q^3 p \) là số nguyên tố, chúng ta sẽ thử nghiệm một số giá trị cho \( p \) và \( q \).

**Bước 1: Thử với các giá trị nhỏ của \( p \) và \( q \)**

Giá trị đầu tiên ta thử là \( p = 2 \) và \( q = 2 \):
\[
p^q + q^3 p = 2^2 + 2^3 \cdot 2 = 4 + 16 = 20 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Thử với \( p = 2 \) và \( q = 3 \):
\[
p^q + q^3 p = 2^3 + 3^3 \cdot 2 = 8 + 27 \cdot 2 = 8 + 54 = 62 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Thử với \( p = 3 \) và \( q = 2 \):
\[
p^q + q^3 p = 3^2 + 2^3 \cdot 3 = 9 + 8 \cdot 3 = 9 + 24 = 33 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Thử với \( p = 3 \) và \( q = 3 \):
\[
p^q + q^3 p = 3^3 + 3^3 \cdot 3 = 27 + 27 \cdot 3 = 27 + 81 = 108 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

**Bước 2: Tìm nghiệm khác**

Thử với \( p = 2 \) và \( q = 5 \):
\[
p^q + q^3 p = 2^5 + 5^3 \cdot 2 = 32 + 125 \cdot 2 = 32 + 250 = 282 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Thử với \( p = 5 \) và \( q = 2 \):
\[
p^q + q^3 p = 5^2 + 2^3 \cdot 5 = 25 + 8 \cdot 5 = 25 + 40 = 65 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Thử với \( p = 5 \) và \( q = 3 \):
\[
p^q + q^3 p = 5^3 + 3^3 \cdot 5 = 125 + 27 \cdot 5 = 125 + 135 = 260 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Thử với \( p = 2 \) và \( q = 7 \):
\[
p^q + q^3 p = 2^7 + 7^3 \cdot 2 = 128 + 343 \cdot 2 = 128 + 686 = 814 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Một số trường hợp tương tự cũng không cho kết quả tích cực.

**Kết luận:**

Quá trình thử nghiệm cho thấy không có cặp số nguyên tố \( (p, q) \) nào thỏa mãn điều kiện \( p^q + q^3 p \) là số nguyên tố trong các giá trị nguyên tố nhỏ.

Tuy nhiên, không thể khẳng định rằng không có cặp nào tồn tại mà không cần kiểm tra tất cả các cặp số nguyên tố. Việc sử dụng các phần mềm máy tính để thực hiện các phép thử cho nhiều giá trị lớn hơn có thể cung cấp thêm thông tin.