Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng
.1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b≥32
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đặt x=1a; y=1b; z=1c , với x, y, z > 0.
Suy ra xyz=1a.1b.1c=1 .
Ta có 1a2.b+c=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z .
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y≥32 .
⇔xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1≥92.
⇔x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y≥92.
⇔x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥92 (*)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:
x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥9>92.
Do đó (*) luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c.
Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |