a) Tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD.

Suy ra MQ là đường trung bình của tam giác ABD.

Do đó MQ // BD và \(MQ = \frac{1}{2}BD\)    (1)

Chứng minh tương tự, ta được NP // BD và \(NP = \frac{1}{2}BD\)     (2)

Từ (1), (2), suy ra MQ // NP và MQ = NP.

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó \(MN = \frac{1}{2}AC\).

Nếu ABCD là hình thang cân thì AC = BD.

Mà \(MQ = \frac{1}{2}BD\) (chứng minh trên) và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (chứng minh trên).

Suy ra MQ = MN.

Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi.

Vậy MP là là tia phân giác của \[\widehat {QMN}\].