a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.

Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó \(2\widehat {AOC} = 2\widehat {COM} = \widehat {AOM}\).

Chứng minh tương tự, ta được \(2\widehat {MOD} = 2\widehat {DOB} = \widehat {MOB}\).

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (kề bù).

Suy ra \(2\widehat {COM} + 2\widehat {MOD} = 180^\circ \).

Khi đó \(2\left( {\widehat {COM} + \widehat {MOD}} \right) = 180^\circ \).

Vì vậy \(\widehat {COD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).

Vậy tam giác COD vuông tại O.

b) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.

Suy ra AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự, ta được DM = BD.

Ta có CD là tiếp tuyến của (O) có M là tiếp điểm. Suy ra OM ⊥ CD.

Tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao: OM² = CM.DM.

⇔ R² = AC.BD.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c) Gọi I là giao điểm của MH và BC, K là giao điểm của MB và AC.

Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến DM, DB cắt nhau tại D.

Suy ra DM = DB.

Lại có OM = OB = R.

Suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.

Do đó OD ⊥ MB.

Mà OD ⊥ OC (tam giác COD vuông tại O).

Suy ra MB // OC.

Mà O là trung điểm AB (đường tròn (O) có AB là đường kính).

Do đó OC là đường trung bình của tam giác ABK.

Vì vậy C là trung điểm AK.

Ta có MH ⊥ AB (giả thiết) và AK ⊥ AB (do AK là tiếp tuyến của (O) tại A).

Suy ra MH // AK.

Áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac = \frac = \frac\).

Mà CK = CA (C là trung điểm AK).

Suy ra MI = IH.

Do đó I là trung điểm của MH.

Vậy BC đi qua trung điểm I của đoạn MH.