a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên MA ⊥ AO, MB ⊥ BO.

⇒ \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 180^\circ \)

⇒ MAOB là tứ giác nội tiếp đường tròn (dpcm)

b) Ta có: \(\widehat {FAB} = \widehat {FBI}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BF)

Xét \(\Delta IAB\) và \(\Delta IBF\) có:

\(\widehat {IAB} = \widehat {IBF}\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {AIB}\) chung

Do đó \(\Delta IAB\) ᔕ \(\Delta IBF\left( {g.g} \right)\)

Suy ra \(\frac = \frac\) hay IB² = IA.IF.

c) Ta có: \(\widehat {MAI} = \widehat {AEF}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AF)

Vì AE // MB nên \(\widehat {AEF} = \widehat {FMI}\)

Suy ra \(\widehat {MAI} = \widehat {FMI}\)

Xét \(\Delta MAI\) và \(\Delta FMI\) có:

\(\widehat {MAI} = \widehat {FMI}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {MIA}\) chung

Do đó \(\Delta MAI\) ᔕ \(\Delta FMI\,\,\left( {g.g} \right)\)

Suy ra \(\frac = \frac\) hay IM² = IA.IF.

Kết hợp với ý b ta có IB² = IM² = IA.IF ⇒ IB = IM (dpcm)