I là điểm trên cạnh BC mà: \[2CI = 3BI \Rightarrow \frac = \frac{2}{3}\]

\( \Rightarrow \frac = \frac{2} \Rightarrow \frac = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow BI = \frac{2}{5}BC\)

Tương tự ta có: \( \Rightarrow IC = \frac{3}{5}BC\)

J là điểm trên BC kéo dài: \[5JB = 2JC \Rightarrow \frac = \frac{2}{5}\]

\( \Rightarrow \frac = \frac{2} \Rightarrow \frac = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow JB = \frac{2}{3}BC\)và\(BC = \frac{3}{5}JC\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JB} \)

\( = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {JB} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} - \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \) (1)

Lại có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\,.\,\frac{3}{2}\overrightarrow {JC} \)

\( = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AI} + \,\frac{9}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} - \frac{9}\overrightarrow {AJ} + \frac{9}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} - \frac{9}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} - \,\frac{9}\overrightarrow {AJ} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}\overrightarrow {AJ} \) (2)

Nhân 2 vế của (1) với \(\frac{3}{2}\) rồi cộng cho vế với vế của (2) ta được:

\(\frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \,\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\frac\overrightarrow {AI} - \,\frac{9}\overrightarrow {AJ} } \right)\)

\( = \frac\overrightarrow {AI} + \frac{9}\overrightarrow {AJ} + \frac\overrightarrow {AI} - \frac{9}\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{2}\overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)