Lời giải

Theo bài ta có \(\left( {xy + 1} \right)\left( {xz + 1} \right)\left( {yz + 1} \right) \vdots xyz\)

\( \Rightarrow \;\left( {{x^2}{y^2}{z^2} + {x^2}yz + x{y^2}z + xy{z^2} + xy + xz + yz + 1} \right):xyz\)

\( \Rightarrow \left( {xy + xz + yz + 1} \right){\rm{\;}} \vdots xyz\)

Đặt \(xy + xz + yz + 1 = nxyz\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\)

Do đó \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1} = n\)

Vai trò x, y, z như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(x \ge y \ge z \ge 1\).

Ta có \(\frac{1} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{z} \le 1\). Vậy \(n \le 4\).

Do đó \(n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

Trường hợp 1: Xét \(n = 1\). Ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1} = 1\)

Ta có \(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 4\)

Mà z > 1. Vậy \(z \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)

• Với z = 2 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{2} + \frac{1} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 6\)

Mà y > 1 nên \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).

Xét \(y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\) được y = 3; x = 7.

• Với z = 3 ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} < \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 4\)

Mà \(y \ge z = 3\) nên \(y \in \left\{ {3;4} \right\}\)

Xét \({\rm{y}} \in \left\{ {3;4} \right\}\), ta có \({\rm{x}} \notin \mathbb{Z}\).

• Với z = 4 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{4{\rm{xy}}}} = \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} < \frac{3}{4} \Rightarrow y < 4\)

Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 4\).

Trường hợp 2:  Xét n = 2 ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 2\)

Ta có \(2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1} \le \frac{4}{z} \Rightarrow {\rm{z}} \le 2 \Rightarrow {\rm{z}} \in \left\{ {1;2} \right\}\)

• Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} = 1\)

\( \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le 3\) mà \(y \in \left\{ {2;3} \right\}\)

+) y = 2 thì x = 3;

+) y = 3 thì \(x \notin Z\)

• Với z = 2, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} < \frac{3}{y} \Rightarrow y < 2\)

Trái với \({\rm{y}} \ge {\rm{z}} = 2\)

Trường hợp 3: Xét n = 3, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} + \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 3\)

\( \Rightarrow 3 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1} \le \frac{4}{z} \Rightarrow z \le 1 \Rightarrow z = 1\)

Với z = 1, ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} = 2\)

\( \Rightarrow 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1} \le \frac{3}{y} \Rightarrow y \le \frac{3}{2} \Rightarrow y = 1\).

Khi đó x = 2.

Trường hợp 4:  Xét n = 4, ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{z}}} \le \frac{1}{{{\rm{xyz}}}} = 4\)

Dấu '=' xảy ra có x = y = z = 1.

Kết luận: Các bộ số nguyên dương (x, y, z) cần tìm là (7; 3; 2); (3; 2; 1); (2; 1; 1); (1; 1; 1) và các hoán vị.