Lời giải

a) Ta có CO, OA, OB là bánh kính, AB là đường kính

Vì I là trung điểm của OA

Xét (O) có

AO là một phần của đường kính

CD là dây cung không đi qua tâm

AO ⊥ CD tại I

Suy ra I là trung điểm của CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tam giác OIC vuông tại I có

CO² = CI² + IO² (Định lý Pytago)

Hay 10² = CI² + 5²

Suy ra \(CI = 5\sqrt 3 \)

Do đó \(C{\rm{D}} = 2CI = 2.5\sqrt 3 = 10\sqrt 3 \) (cm)

b) Xét tam giác COI có:

Xét tam giác AOC có OC = OA

Nên tam giác AOC cân tại O

Mà \(\widehat {COA} = 60^\circ \) nên tam giác AOC đều

Do đó OA = OC = AC

Mà OA = OM nên CA = AM = AO

Do đó \(CA = \frac{1}{2}OM\)

Xét tam giác CMO có \(CA = \frac{1}{2}OM\)

Suy ra tam giác COM vuông tại C nên OC ⊥ CM

Xét (O) có OC ⊥ CM, OC là bán kính

Suy ra CM là tiếp tuyến của (O)

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).