Gọi I là tâm của hình thoi ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt (ABCD).

Ta có SA=SB=SC nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay H∈BI.

Ta có: SI2=SA2−IA2=a2−IA2,  IB2=AB2−IA2=a2−IA2⇒SI=IB.

Khi đó tam giác SBD vuông tại S. Giả sử SD=x. Ta có SB.SD=SH.BD⇔a.x=SH.BD⇔SH=a.xBD.

Ta có: VS.ABCD=13SH.12AC.BD=13a.xBD.12AC.BD=16a.x.AC.

Ta có: BD2=SB2+SD2=a2+x2⇒IB2=a2+x24⇒IA2=a2−a2+x24=3a2−x24.

Suy ra AC=2IA=23a2−x24=3a2−x2.

Vậy VS.ABCD=16a.x.3a2−x2≤a6.x2+3a2−x22=a34.