Xét tam giác SIP vuông tại I, từ định lí Pythagore, suy ra

SI² = SP² – IP² = 5² – 3² = 16.

Suy ra SI = 4 cm.

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.MNP là d = SI = 4 cm.

Vì tam giác SMP cân tại S nên đường cao SI đồng thời là đường trung tuyến của tam giác SMP, do đó I là trung điểm của MP. Suy ra MP = 2IP = 6 cm.

Tam giác đều MNP có nửa chu vi đáy là p = 12(6 + 6 + 6) = 9 (cm).

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.MNP: S_xq = 9 . 4 = 36 (cm²).