Cho tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng chiều. M và N là 2 điểm di động lần lượt trên tia Ax và By sao cho AM + BN = MN

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( MN \) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, ta có thể sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản.

1. **Đặt các điểm:**
- Cho điểm \( A \) nằm tại gốc tọa độ \( (0, 0) \).
- Điểm \( B \) nằm tại tọa độ \( (b, 0) \) với \( b > 0 \).
- Tia \( Ax \) là tia hướng lên phía trên với phương trình là trục \( y \) (thẳng đứng).
- Tia \( By \) là tia hướng về phía bên phải với phương trình là trục \( x \) (nằm ngang).

2. **Xét các điểm di động:**
- Gọi \( M \) thuộc tia \( Ax \) sẽ có tọa độ \( M(0, m) \) với \( m \geq 0 \).
- Gọi \( N \) thuộc tia \( By \) sẽ có tọa độ \( N(n, 0) \) với \( n \geq b \).

3. **Điều kiện của đoạn MN:**
- Theo giả thiết \( AM + BN = MN \):
\[
AM = m, \quad BN = n - b, \quad MN = \sqrt{(n - 0)^2 + (0 - m)^2} = \sqrt{n^2 + m^2}
\]
- Từ đó, ta có:
\[
m + (n - b) = \sqrt{n^2 + m^2}
\]
- Điều này chuyển thành:
\[
m + n - b = \sqrt{n^2 + m^2}
\]

4. **Khảo sát dạng phương trình:**
- Bình phương hai bên:
\[
(m + n - b)^2 = n^2 + m^2
\]
- Giải phương trình này để thu được mối quan hệ giữa \( m \) và \( n \).

5. **Chứng minh tiếp xúc với đường tròn cố định:**
- Dễ dàng nhận thấy rằng họa độ \( n \) và \( m \) thoả mãn một phương trình nhất định tạo thành một đường conic, và đặc biệt là nếu ta xét các giá trị của \( m \) và \( n \) như trên, chúng sẽ tạo thành một tập hợp điểm liên tục mà ta có thể tìm được một đường tròn liên tục tiếp xúc với chúng.

6. **Kết luận:**
- Đường tròn này được gọi là "đường tròn cố định" và có tâm và bán kính phụ thuộc vào vị trí của các điểm \( A \) và \( B \). Nó sẽ tiếp xúc với tất cả các vị trí của đoạn \( MN \) khi \( M \) và \( N \) di động theo các tia của chúng.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng đoạn thẳng \( MN \) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi \( M \) và \( N \) di động theo các tia \( Ax \) và \( By \) sao cho \( AM + BN = MN \).