Để tính giá trị của các biểu thức đã cho, chúng ta tiến hành từng bước như sau:

a) \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{5}\)

b) \(\frac{\sqrt{444}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\frac{444}{111}} = \sqrt{4} = 2\)

c) \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6\)

d) \(5 \cdot \frac{48 - 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{3}\)
- Tính lần lượt các thành phần: \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) và \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
- Vậy biểu thức trở thành:
\[ \frac{5 (48 - 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3})}{3} = \frac{5 (48 - 5\sqrt{3})}{3} = \frac{240 - 25\sqrt{3}}{3} \]

e) \(\frac{\sqrt{32} - \sqrt{50} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(4 - 5 + 2)\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\)

f) \(2 \cdot \frac{16}{3} - 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{27}} - 6 \cdot \sqrt{\frac{4}{75}}\)
- Tính:
\[ 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]
\[ 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{27}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \]
\[ 6 \cdot \sqrt{\frac{4}{75}} = 6 \cdot \frac{2}{5\sqrt{3}} = \frac{12}{5\sqrt{3}} \]
- Biểu thức trở thành:
\[ \frac{32}{3} - 1 - \frac{12}{5\sqrt{3}} \]

Tóm lại, các giá trị là:
1. \( \frac{1}{5} \)
2. \( 2 \)
3. \( 6 \)
4. \( \frac{240 - 25\sqrt{3}}{3} \)
5. \( 1 \)
6. \( \frac{32}{3} - 1 - \frac{12}{5\sqrt{3}} \)