Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, F, E và BC = x.

Ta có MN // BC nên ∆AMN ᔕ ∆ABC.

Suy ra: MNBC=AMAB=ANAC.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

MNBC=AMAB=ANAC=MN+AM+ANBC+AB+AC=Chu vi ∆AMNChu vi ∆ABC. (*)

Vì AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (I; r) tại D, E nên AD = AE.

Tương tự, ta có BD = BF và CE = CF.

Do đó AD + AE = AB – BD + AC – CE

                           = AB + AC – (BD + CE)

                           = AB + AC – (BF + CF)

                           = AB + AC – BC.

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với MN.

Hai tiếp tuyến MD, MH của đường tròn (I; r) cắt nhau tại M nên MD = MH.

Tương tự ta có NE = NH.

Ta có:

Chu vi ∆AMN

= AM + AN + MN

= AD – MD + AE – NE + MN

= AD + AE – (MD + NE) + MN

= AD + AE – (MH + NH) + MN

= AD + AE – MN + MN

= AD + AE

= AB + AC – BC

= AB + AC + BC – 2BC

= Chu vi ∆ABC – 2x (với x = BC)

= 16 – 2x.

Từ (*) ta có: MNBC=Chu vi ∆AMNChu vi ∆ABC, hay MNx=16-2x16.

Từ đó MN=x16-2x16=2x8-x16=4·x·8-x32≤x+8-x232=2

Do đó, MN có độ dài lớn nhất bằng 2 cm khi x = 8 – x hay x = 4, tức là BC = 4 cm.