Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần đã cho.

### a. Chứng minh H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD

Giả sử đường tròn có tâm O và bán kính R. Dây cung AB và CD không cắt nhau, do đó OH và OK là khoảng cách từ dây AB đến dây CD.

Đặt H là điểm chính giữa của dây AB và K là điểm chính giữa của dây CD. Khi đó, ta có:

1. **Khoảng cách từ O đến AB**: Kẻ đường pháp tuyến từ O đến AB sẽ cắt AB tại H. Bởi vì dây AB là một đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng đường tròn, khoảng cách từ tâm O đến dây AB là đoạn thẳng vuông góc với AB tại H.

2. **Khoảng cách từ O đến CD**: Tương tự, chiều dài đoạn thẳng OK cũng là khoảng cách vuông góc từ O đến CD tại K, với K là điểm chính giữa của CD.

Do đó, H và K sẽ là trung điểm của AB và CD.

### b. Giả sử OH = OK, chứng minh tam giác AHO = tam giác CKO suy ra AB = CD

Giả sử OH = OK, tức là độ dài khoảng cách từ O đến dây cung AB bằng độ dài khoảng cách từ O đến dây cung CD.

Ta sẽ phân tích:

- Trong tam giác AHO, ta có:
- AO = R (bán kính)
- OH = d (khoảng cách từ O đến AB)

- Trong tam giác CKO, ta cũng có:
- CO = R (bán kính)
- OK = d (khoảng cách từ O đến CD)

#### Tính chất của tam giác AHO và CKO:
- OH và OK có độ dài bằng nhau (OH = OK).
- Hai dây cung AB và CD đều đi qua trung điểm của mình là H và K.
- Cạnh AO bằng cạnh CO (có cùng độ dài là bán kính R).
- Gọi AH và CK là nửa chiều dài của dây AB và CD, do H và K là trung điểm.

Do đó, ta có:
- AO² - OH² = AH² (theo định lý Pitago trong tam giác AOH)
- CO² - OK² = CK² (theo định lý Pitago trong tam giác CKO)

Vì OH = OK, ta có:
- AH² = R² - OH²
- CK² = R² - OK²

=> AH² = CK²

Vì H và K là trung điểm, do đó AB = 2AH và CD = 2CK.

Nếu AH² = CK² thì AB = CD.

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đồng thời, nếu OH = OK, ta có AB = CD.