Chứng minh -2x^2- y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6 luôn âm với mọi giá trị x

Để chứng minh biểu thức \(-2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6\) luôn âm với mọi giá trị \(x\) và \(y\), ta có thể bắt đầu bằng cách xem xét biểu thức theo biến \(y\) và tìm tối đa nó bằng cách hoàn thành bình phương hoặc tìm đạo hàm.

Ta có biểu thức đã cho:
\[
f(x, y) = -2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6
\]

Để dễ xử lý, ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\):
\[
f(x, y) = -2x^2 - 2x - 6 + (2x - 1)y - y^2
\]

Ta xem xét phần liên quan đến \(y\):
\[
g(y) = -y^2 + (2x - 2)y
\]

Đây là một hàm bậc hai theo \(y\). Hệ số của \(y^2\) là âm (vì là \(-1\)), nên hàm này đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Đỉnh của parabol này nằm ở \(y = -\frac{b}{2a} = -\frac{(2x - 2)}{2 \cdot (-1)} = x - 1\).

Thay giá trị \(y = x - 1\) vào hàm \(g(y)\) để tìm giá trị lớn nhất:
\[
g(x - 1) = -(x - 1)^2 + (2x - 2)(x - 1)
\]

Tính toán:
\[
-(x - 1)^2 = -x^2 + 2x - 1
\]
\[
(2x - 2)(x - 1) = 2x^2 - 2x - 2x + 2 = 2x^2 - 4x + 2
\]

Vậy,
\[
g(x - 1) = -x^2 + 2x - 1 + 2x^2 - 4x + 2 = x^2 - 2x + 1
\]
\[
= (x - 1)^2
\]

Do đó,
\[
f(x, y) = -2x^2 - 2x - 6 + (x - 1)^2
\]

Ta cần tính giá trị lớn nhất này:
\[
f(x, x - 1) = -2x^2 - 2x - 6 - (x - 1)^2
\]
\[
= -2x^2 - 2x - 6 - (x^2 - 2x + 1) = -2x^2 - 2x - 6 - x^2 + 2x - 1
\]
\[
= -3x^2 - 7
\]

Biểu thức này luôn âm vì với mọi \(x\), \(x^2 \geq 0\) nên \(-3x^2 - 7\) luôn nhỏ hơn 0.

Vậy, ta đã chứng minh rằng \(-2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6\) luôn âm với mọi giá trị \(x\) và \(y\).