Để giải bài này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh: \( AB^2 = 4AC \cdot BD \)

- Đặt \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), suy ra \( AO = OB = \frac{AB}{2} \).
- Gọi \( C \) là điểm trên tia \( Ax \) và \( D \) là điểm trên tia \( By \) sao cho \( OD \) vuông góc với \( OC \).
- Ta sẽ sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \( ODC \) và \( OBD \) để chứng minh.

Áp dụng định lý Pitago trong các tam giác này, ta có thể đếm được độ dài từ các đoạn thẳng, và thông qua đó sẽ có được mối quan hệ giữa các đoạn thẳng theo yêu cầu.

### b) Kẻ \( OM \perp CD \) tại \( M \). Chứng minh: \( AC = CM \)

- Đặt \( M \) là giao điểm của đường thẳng \( OM \) với \( CD \).
- Vì \( OM \) vuông góc với \( CD \) và \( O \) là trung điểm chung, ta có thể sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, từ đó dễ dàng chứng minh được \( AC = CM \).

### c) Từ \( M \) kẻ \( MH \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \). Chứng minh \( BC \) đi qua trung điểm \( MH \)

- Gọi \( H \) là giao điểm của \( MH \) với \( AB \).
- Sử dụng định lý về trung điểm và các tỉ lệ trong tam giác, ta có thể cho thấy đường thẳng \( BC \) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( MH \).

### d) Tìm vị trí của điểm \( C \) trên tia \( Ax \) để diện tích tứ giác \( ABCD \) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Diện tích tứ giác \( ABCD \) có thể được tính bằng công thức kết hợp giữa các đoạn thẳng và góc giữa chúng.
- Tìm điều kiện để diện tích này nhỏ nhất có thể thông qua việc thiết lập phương trình cho diện tích tứ giác và tìm cực trị.

Mong rằng phần trình bày này giúp bạn có hướng đi rõ ràng hơn cho bài toán. Nếu cần hỗ trợ thêm về các bước cụ thể hơn, bạn có thể hỏi thêm!