### Bài 1: Tìm các số nguyên X để phân số có giá trị là một số nguyên

Ta có phân số:

\[
A = \frac{X + 5}{X + 1}
\]

Để \( A \) là một số nguyên, điều kiện là \( X + 1 \) phải chia hết cho \( X + 5 \).

Ta viết lại phân số dưới dạng:

\[
A = 1 + \frac{4}{X + 1}
\]

Vậy \( \frac{4}{X + 1} \) phải là một số nguyên, tức là \( X + 1 \) phải là một trong các ước của 4.

Các ước của 4 là: ±1, ±2, ±4.

Giải từng trường hợp:

1. **X + 1 = 1 → X = 0**: \( A = \frac{0 + 5}{0 + 1} = 5 \)
2. **X + 1 = -1 → X = -2**: \( A = \frac{-2 + 5}{-2 + 1} = -3 \)
3. **X + 1 = 2 → X = 1**: \( A = \frac{1 + 5}{1 + 1} = 3 \)
4. **X + 1 = -2 → X = -3**: \( A = \frac{-3 + 5}{-3 + 1} = -1 \)
5. **X + 1 = 4 → X = 3**: \( A = \frac{3 + 5}{3 + 1} = 2 \)
6. **X + 1 = -4 → X = -5**: \( A = \frac{-5 + 5}{-5 + 1} = 0 \)

**Kết quả cho A:**

- Nếu \( X = 0 \): \( A = 5 \)
- Nếu \( X = -2 \): \( A = -3 \)
- Nếu \( X = 1 \): \( A = 3 \)
- Nếu \( X = -3 \): \( A = -1 \)
- Nếu \( X = 3 \): \( A = 2 \)
- Nếu \( X = -5 \): \( A = 0 \)

### Bài 2: Tìm x,y thuộc Z

**a. \( (2x - 5)(6y - 7) = 13 \)**

Các cặp số nguyên \( (a, b) \) có thể là các ước của 13: \( (1, 13), (13, 1), ( -1, -13), (-13, -1) \).

- **Cặp (1, 13)**:
- \( 2x - 5 = 1 \) → \( 2x = 6 \) → \( x = 3 \)
- \( 6y - 7 = 13 \) → \( 6y = 20 \) → \( y = \frac{10}{3} \) (không chấp nhận)

- **Cặp (13, 1)**:
- \( 2x - 5 = 13 \) → \( 2x = 18 \) → \( x = 9 \)
- \( 6y - 7 = 1 \) → \( 6y = 8 \) → \( y = \frac{4}{3} \) (không chấp nhận)

- **Cặp (-1, -13)**:
- \( 2x - 5 = -1 \) → \( 2x = 4 \) → \( x = 2 \)
- \( 6y - 7 = -13 \) → \( 6y = -6 \) → \( y = -1 \) → **(x, y) = (2, -1)**

- **Cặp (-13, -1)**:
- \( 2x - 5 = -13 \) → \( 2x = -8 \) → \( x = -4 \)
- \( 6y - 7 = -1 \) → \( 6y = 6 \) → \( y = 1 \) → **(x, y) = (-4, 1)**

Kết quả: Các cặp (x, y) là **(2, -1)** và **(-4, 1)**.

**b. \( xy - x - y + 1 = 0 \)**

Chuyển thành:

\[
(x - 1)(y - 1) = 2
\]

Các cặp ước của 2 là: \( (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1) \).

- **Cặp (1, 2)**:
- \( x - 1 = 1 \) → \( x = 2 \), \( y - 1 = 2 \) → \( y = 3 \) → **(x, y) = (2, 3)**
- **Cặp (2, 1)**:
- \( x - 1 = 2 \) → \( x = 3 \), \( y - 1 = 1 \) → \( y = 2 \) → **(x, y) = (3, 2)**
- **Cặp (-1, -2)**:
- \( x - 1 = -1 \) → \( x = 0 \), \( y - 1 = -2 \) → \( y = -1 \) → **(x, y) = (0, -1)**
- **Cặp (-2, -1)**:
- \( x - 1 = -2 \) → \( x = -1 \), \( y - 1 = -1 \) → \( y = 0 \) → **(x, y) = (-1, 0)**

Kết quả: Các cặp (x, y) là **(2, 3), (3, 2), (0, -1), (-1, 0)**.

### Bài 3: Tìm số hữu tỉ x

**a. \((x - 3)^2 - 1 = 24\)**

\[
(x - 3)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad x - 3 = 5 \, \text{hoặc} \, x - 3 = -5
\]
\[
x = 8 \quad \text{hoặc} \quad x = -2
\]

**b. \(\frac{3^{x+5}}{9^3} = 27^4\)**

Viết lại:

\[
9 = 3^2, 27 = 3^3 \\
\Rightarrow \frac{3^{x+5}}{(3^2)^3} = (3^3)^4 \\
\Rightarrow \frac{3^{x+5}}{3^6} = 3^{12} \\
\Rightarrow 3^{x-1} = 3^{12} \\
\Rightarrow x - 1 = 12 \, \Rightarrow x = 13
\]

**c. \(3^{x+2} + 4.3^{x+1} = 7.3^6\)**

Gọi \( z = 3^{x} \):

\[
3^{x+2} = 9z, 4.3^{x+1} = 12z \\
9z + 12z = 7.3^6 \\
21z = 7.3^6 \\
z = \frac{7.3^6}{21} = \frac{3.3^6}{3} = \frac{1}{3}.3^6 \\
\Rightarrow x = 6
\]

**d. \(4.3^{x-1} + 2.3^{x+2} = 4.3^6 + 2.3^9\)**

Chuyển đổi:

\[
4\frac{3^{x}}{3} + 2.3^2.3^{x} = 4.3^6 + 2.3^2.3^6 \\
(4 + 2.9).3^{x-2} = (4 + 2)3^6 \\
(4 + 18)3^{x-2} = 6.3^6 \\
22.3^{x-2} = 6.3^6
\]

Chia cả hai bên cho \( 3^{x-2} \):

\( x = 8 \)

Tổng kết kết quả:

- \( x = 8 \) từ phần (a),
- \( x = 13 \) từ phần (b),
- \( x = 6 \) từ phần (c),
- \( x = 8 \) từ phần (d).